SNS n. 1 2023

[Pigkappa]

Si in effetti riconosco il mio errore. Ci avevo pensato molto a questo problema ed erroneamente non vedevo asimmetrie fra le due masse. Consentitemi di dire però che era un problema molto difficile per un liceale. Non so ovviamente cosa pretendeva poi la commissione...

L'anno scorso il problema 1 era quella assurdità sulla tensione superficiale! Quindi direi che quest'anno sono stati magnanimi xD

[Higgs]

+Vi ringrazio per le osservazioni fondate su tanti problemi affrontati e risolti! Posterò a breve lo SNS n2 2023 (a proposito uno dello stesso tipo fu proposto da Pigkappa nella primavera scorsa)

[Tarapìa Tapioco]

Hai una spiegazione intuitiva del perché ci viene ?

Una spiegazione pressoché (ma non immediatamente) intuitiva della motivazione per cui la componente verticale della velocità della particella 1 dopo il primo urto sia uguale alla velocità iniziale della stessa (e dell'intero sistema), risiede nella tipologia dell'urto occorso (perfettamente elastico) e nelle condizioni iniziali del sistema (che si muove con velocità angolare iniziale nulla, ). Appare abbastanza intuitiva (benché non ovvia) la constatazione che, in una collisione completamente elastica, i due corpi urtanti rimbalzano perfettamente l'uno sull'altro e la relativa velocità di impatto è uguale (in modulo) e opposta (in verso) alla relativa velocità di rimbalzo; analogamente, ad esempio, è altrettanto intuitivo osservare che, in un urto completamente anelastico, le due masse urtanti tendano ad aderire plasticamente e incastrarsi tra loro, dimodoché la relativa velocità di rimbalzo sia necessariamente nulla.
In questo specifico caso, è possibile distinguere tra corpo urtante (la massa puntiforme, avente una certa velocità iniziale di caduta coincidente con quella del centro di massa del sistema e una certa velocità finale di rimbalzo immediatamente dopo l'urto) e corpo urtato (il pavimento, di massa molto maggiore rispetto a quella urtante e avente velocità nulle prima e dopo l'urto): pertanto, le relative velocità di impatto e rimbalzo corrispondono, rispettivamente, alle velocità di impatto e di rimbalzo della sola particella puntiforme.
Poiché, considerata la situazione fisica, la particella 1 è la prima ad urtare il suolo, allora il moto da essa descritto durante l'intervallo di tempo intercorso tra la caduta e l'impatto con il terreno corrisponde alla pura traslazione del sistema, con uguale velocità traslazionale assunta da ogni suo punto e apporto nullo proveniente dalla rotazione, la quale precede il breve istante, compreso tra la fine della collisione e l'inizio del rimbalzo, durante il quale si innesca il contributo fornito dalla rotazione (a velocità angolare costante) del sistema. Assumendo il verso positivo verso l'alto, dunque, la massa puntiforme contraddistinta dalla particella 1 acquisisce una velocità di caduta verticale corrispondente a quella del centro di massa, mantenendola costante fino all'impatto () senza avvertire gli effetti della rotazione (), per poi invertire il suo moto e assumere una certa componente verticale di velocità di rimbalzo .

Pertanto, stanti le condizioni iniziali () e disponendo un modello di collisione completamente elastica per l'impatto, in virtù delle precedenti considerazioni la componente verticale della velocità d'impatto
dev'essere uguale in modulo ed opposta in verso alla componente verticale della velocità di rimbalzo ; deve valere, cioè, che:



La spiegazione intuitiva sopra presentata trova supporto nel concetto di coefficiente di restituzione (o Legge di Restituzione di Newton, o Legge di contatto) fondamentale nella meccanica degli impatti.

Siano e le masse di due particelle e che urtano tra loro nella stessa direzione a velocità e prima dell'urto, rispettivamente. Si assuma in modo che il moto relativo tra le due particelle sia tale che esse effettivamente si scontrino, con la prima () urtante la seconda (). Assumendo che le masse delle particelle rimangano invariate (per i principi della meccanica classica non-relativistica), le velocità delle due particelle dopo l'urto si diranno e , rispettivamente. Se le due particelle si muovono nella stessa direzione, stanti le condizioni iniziali, si avrà necessariamente , perché altrimenti ciò implicherebbe che la particella si sia spostata effettivamente attraverso la particella senza che le due si siano veramente scontrate.
Il coefficiente di restituzione è definito come il rapporto tra la relativa velocità di separazione dopo l'urto e la relativa velocità di approccio prima dell'urto, in valore assoluto. Si ha:

,
,

dove i valori assoluti sono dovuti al fatto che il coefficiente di restituzione è definito come quantità non negativa.

Dunque:

.

Poiché si è assunto l'urto perfettamente elastico, si devono imporre la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica del sistema tra prima e dopo l'urto. Quindi:

Risolvendo il sistema, si ottiene

.

Dunque, dividendo entrambi i membri per :

.

Assumendo, senza perdita di generalità, che il corpo sia la particella e il corpo (di massa ) sia il pavimento, si hanno le seguenti:

perché il pavimento è fermo;
è la velocità relativa di impatto al suolo della particella ;
è la velocità relativa di rimbalzo trasmesso dal suolo della particella .

Si ha dunque: , cioè

.

Le velocità assolute di impatto e rimbalzo sono date dalla somma (vettoriale) tra le rispettive velocità di trascinamento (del centro di massa) e le rispettive velocità relative rispetto al centro di massa (date dal prodotto vettoriale - massimo in modulo - tra velocità angolare e vettore posizione del vettore velocità di trascinamento rispetto al centro di massa).
Dunque:



,

e dal momento che:

,

allora

.

Lo stesso procedimento può essere esteso anche alla particella :



,

e dal momento che:

,

allora


,

da cui

.

Sostituendo :

,

come previsto.

[Pigkappa]

Pertanto, stanti le condizioni iniziali () e disponendo un modello di collisione completamente elastica per l'impatto, in virtù delle precedenti considerazioni la velocità d'impatto
dev'essere uguale in modulo ed opposta in verso alla velocità di rimbalzo

Questa cosa forse non la capisco. Non mi pare sia vera. Abbiamo visto sopra che non è zero, quindi non è vero che la velocità di impatto e rimbalzo sono uguali in modulo. La velocità di rimbalzo è più grande in modulo di quella di impatto.

La collisione è elastica nel suo complesso, cioè si conserva l'energia cinetica totale. Ma si ridistribuisce energia tra le due masse connesse dall'asta. L'asta è chiaramente in grado di fare lavoro sulle masse con la sua forza impulsiva, infatti abbiamo visto che influenza , ma sorprendentemente non .

Nei conti successivi non mi è chiaro cosa sia e perché compaia anche un . Presumibilmente di ce n'è una sola...

[Tarapìa Tapioco]

Pertanto, stanti le condizioni iniziali () e disponendo un modello di collisione completamente elastica per l'impatto, in virtù delle precedenti considerazioni la velocità d'impatto
dev'essere uguale in modulo ed opposta in verso alla velocità di rimbalzo

Questa cosa forse non la capisco. Non mi pare sia vera. Abbiamo visto sopra che non è zero, quindi non è vero che la velocità di impatto e rimbalzo sono uguali in modulo. La velocità di rimbalzo è più grande in modulo di quella di impatto.

Per velocità di impatto e velocità di rimbalzo io intendevo solo la componente verticale delle relative velocità di contatto con il suolo. Non ho avanzato alcuna considerazione sulla componente delle velocità di contatto con il suolo, denominando con impatto e rimbalzo le sole componenti normali alla superficie del terreno. Chiarito questo, non riesco a capire dove si insinui il tuo dubbio, visto che 1) la legge di contatto , con coefficiente di restituzione come definito nel post precedente, è sempre applicabile nella meccanica degli urti, e 2) in un urto perfettamente elastico il coefficiente di restituzione è sempre pari a .

Nei conti successivi non mi è chiaro cosa sia e perché compaia anche un . Presumibilmente di ce n'è una sola...

è la velocità angolare assunta dalla particella dopo l'impatto con il suolo, mentre è la velocità angolare assunta dalla particella dopo l'impatto con il suolo.