SNS n.1 2024

[Marco Balsamo]

Due oggetti di piccole dimensioni A e B, ciascuno con carica elettrica totale nulla, interagiscono tra loro elettrostaticamente con una forza attrattiva che dipende dalla distanza come (dove n è un intero positivo). L’oggetto A è appeso a un punto fisso tramite un lungo filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza ℓ = 150 cm. Se si avvicina B ad A mantenendo entrambi alla stessa quota, A sposta la propria posizione di equilibrio dalla verticale. Quando la distanza tra i due oggetti scende sotto un certo valore, tuttavia, A si precipita spontaneamente verso B, rimanendovi attacato. Grazie a un righello disposto orizzontalmente sotto l’apparato, con lo zero sulla verticale del punto di sospensione, otto gruppi indipendenti di studenti/esse misurano i valori delle coordinate e degli oggetti al momento in cui accade quanto descritto. Stimare il valore di n usando i dati riportati nella tabella, possibilmente discutendo le incertezze sperimentali (tabella:"https://i.ibb.co/ckXCCtZ/tabella.png"; immagine apparato: "https://i.ibb.co/F7Ygmz6/Fig-1.png").

[Higgs]

Ho sintetizzato i conti ma se valesse la pena sono disposto ovviamente a esplicitarli...
Dalle misure effettuate risulta agevolmente che il valor medio di x risulta che dà luogo ad un'incertezza quadratica media di modo che la misura di x può essere espressa come il valor medio più o meno questa incertezza cioè . A questo punto mi ero posto il problema della conseguenza sulla forza F di attrazione che al momento dell'impatto deve essere la stessa ma che viene misurata diversamente dagli studenti e che contiene l'esponente -n. Infatti essa è proporzionale a ovvero seguendo lo stesso ragionamento essendo fornirebbe un'incertezza quadratica media su F pari a . A questo punto non so andare avanti cioè valutare n in modo che questa incertezza sia minima? Sia massima? Mi pare una funzione monotonicamente decrescente che ovviamente si annulla per n tendente a infinito... Help,help dove sbaglio?

[Pigkappa]

Ci ho provato stasera ma non ho una buona soluzione. Scrivo qua quel che ho pensato.

Il testo non mi è molto chiaro; non sono del sicuro che gli oggetti A e B siano gli stessi in tutti gli otto casi, né capisco se l'attrazione istantanea fortissima tra A e B avviene perché il filo si rompe o perché la relazione smette di funzionare a una certa distanza, o forse perché gli studenti non riescono a reggere B e lo lasciano andare.

Per risolvere, assumo che nelle posizioni indicate in tabella i due oggetti siano in equilibrio. Non cerco di spiegare perché non lo sono appena diminuisce da quel valore, perché sinceramente non l'ho capito.

Sia l'angolo con la verticale, la tensione del filo, la massa di A, . Equazioni dell'equilibrio:


Usando , da questa ricavando poi , e dividendo tra le due equazioni per eliminare si trova:

I termini a destra sono sempre gli stessi, ma non conosciamo che non sono dati. Possiamo cercare il miglior valore di per cui l'espressione di sinistra è costante.
Rimaneggiando, un altro modo di scrivere l'equazione sopra è:

Dove è una costante. Definisco e e faccio il fit di rispetto ad una intercetta ed x. L'intercetta sarà la costante e la pendenza sarà .

Il problema è che mettendo in un grafico, si vede che non si dispongono assolutamente su una retta. Anche solo facendo il plot di e si nota che i punti sembrano messi a caso. Mostro i due grafici qua sotto.

C'è qualcosa di fondamentale che non ho capito nel senso del problema. Se resiste fino all'infinito e i corpi sono avvicinati con estrema delicatezza e l'equazione della forza vale per ogni , mi verrebbe da pensare che si possa far arrivare il filo fino quasi ad arrivare in posizione verticale, ma devo sbagliarmi. Inoltre se B rimane fermo e A all'improvviso va ad attaccarsi, il filo si deve rompere per forza perché sennò A è vincolato ad una circonferenza e non riesce ad arrivare a B.

[Higgs]

Io ho capito che 1) gli strumenti sono identici per tutti gli studenti (così mi sembra dalle stesse figure riportate da Marco) 2) la forza smette di funzionare all'impatto BA , una forza di impatto che è UGUALE per tutti gli 8 studenti 3) essi danno tuttavia misure diverse di questa forza stanti i loro diversi valori di (tabelle) che si esplicita nel valor medio; il valor medio può esprimersi come è noto come5,6 l'incertezza quadratica media su x ovvero 4) il mio risultato sarebbe x= 5,60 con denominatore n-1=7.
Con lo stesso procedimento ho calcolato l'incertezza media su . Dato che F= la sua incertezza sarà e la sua incertezza quadratica media sarà. E' a questo punto che mi fermo perchè non riesco a vedere il suo legame con n.
Il risultato che dai tu si fonda sulla costanza di Questo secondo me è sbagliato perchè doveva essere Comunque continueremo a pensarci chiedendo a tutti, a partire da Marco, di intervenire. Dopo tutto è stato assegnato a liceali anche se questi problemi sono famosi per essere oscuri a partire dal testo...

[Pigkappa]

Quello che io ho chiamato è

[Marco Balsamo]

Secondo me il problema d'interpretazione risiede qui, quando dice:

se si avvicina B ad A mantenendo entrambi alla stessa quota, A sposta la propria posizione di equilibrio dalla verticale

. Per quanto ho capito io, al movimento di A, il corpo B si "riassesta" alla sua stessa ordinata; ovvero le misurazioni fatte dagli studenti sono intervallate a questi momenti di "assestamento". D'altronde il problema non ci dà che solo il riferimento nella direzione x.

[Higgs]

Io ho capito che 1) gli strumenti sono identici per tutti gli studenti (così mi sembra dalle stesse figure riportate da Marco) 2) la forza smette di funzionare all'impatto BA , una forza di impatto che è UGUALE per tutti gli 8 studenti 3) essi danno tuttavia misure diverse di questa forza stanti i loro diversi valori di (tabelle) che si esplicita nel valor medio; il valor medio può esprimersi come è noto come5,6 l'incertezza quadratica media su x ovvero 4) il mio risultato sarebbe x= 5,60 con denominatore n-1=7.
Con lo stesso procedimento ho calcolato l'incertezza media su . Dato che F= la sua incertezza sarà e la sua incertezza quadratica media sarà. E' a questo punto che mi fermo perchè non riesco a vedere il suo legame con n.
Il risultato che dai tu si fonda sulla costanza di Questo secondo me è sbagliato perchè doveva essere Comunque continueremo a pensarci chiedendo a tutti, a partire da Marco, di intervenire. Dopo tutto è stato assegnato a liceali anche se questi problemi sono famosi per essere oscuri a partire dal testo...

[Pigkappa]

Ho visto la soluzione online da un'altra parte. Alla fine posterò il link per dare il merito all'autore, ma nel frattempo dò un suggerimento perché secondo me qua siamo bloccati, anche perché il testo è un po' oscuro.

Per una data posizione di B, il corpo A trova una posizione in cui è fermo e in equilibrio: gravità, tensione del filo e attrazione verso B si compensano.

Questo equilibrio è stabile?

Lascerei stare le otto misure per iniziare; farei la media delle misure e mi preoccuperei di trovare , che già è difficile. All'incertezza ci si pensa dopo.

[Marco Balsamo]

Le forze in gioco sono tutte conservative, tranne la tensione. Ma in particolare il moto di A avviene lungo x dove la forza agente su A ha due termini: il primo è che è la forza "di richiamo" del pendolo e considerando che possiamo scriverla come con che ha l'aspetto di una forza elastica con k costante equivalente. Mentre per quanto riguarda il termine di interazione elettrostatica . è conservativa e si può dimostrare che anche lo è. Allora vi possiamo associare i rispettivi potenziali e per la loro additività il potenziale associato alla risultante su A è la somma dei potenziali associati a e . In particolare: il potenziale associato a è quadratico [], quello associato a è più complesso: è crescente e tende a zero a destra e a sinistra e diverge negativamente per . La funzione ha minimo in .
A questo punto @pigkappa chiedeva:

Per una data posizione di B, il corpo A trova una posizione in cui è fermo e in equilibrio: gravità, tensione del filo e attrazione verso B si compensano.
Questo equilibrio è stabile?

Condizione necessaria ma non sufficiente per la stabilità della posizione di equilibrio è che , ma il testo ci dice che esiste un certo tale per cui B attrae A con una forza maggiore rispetto a quella di richiamo , cioé tutta la parte di grafico compresa tra tale che con estremo inferiore dell'intervallo "critico", cioè quello all'interno del quale per tutte le posizioni di B appartenenti allo stesso, . Ovviamente a noi interessa il valore minimo che assume , cioè . Dunque: e . Mi sono arrestato, però, a questo punto: mi sembra che se noi mettiamo a sistema le due condizioni ci sia un dato in meno, sebbene non riesca a guardare altrove, forse c'è qualche espediente matematico, come posso rimediare? Non mi sembra che ci siano terze condizioni, poichè l'idea da cui ero partito è stata quella di semplificare la forma della funzione della forza su A facendo perno sulle due condizioni al contorno.

[Pigkappa]

Si può risolvere per . Non serve calcolare né